Arquímedes y la corona del rey

Efrén d’Andrés. Junio de 2023

Hieron II, rey de Siracusa, le entregó un lingote de oro puro a un orfebre para que hiciera con él una corona (figura1). Al recibir la corona ya hecha, al rey le entró la sospecha de que el orfebre le hubiera cambiado parte del oro por otro metal; para salir de dudas le pidió a Arquímedes, el sabio más eminente del reino, que hiciera las averiguaciones pertinentes.

Figura 1. El orfebre le hizo una corona al rey con un bloque de oro puro

 

Los metales de la Antigüedad

En la época en la que vivió Arquímedes (nació en el 287 a. de C.) solo se conocían siete metales: estaño, hierro, cobre, plata, plomo, mercurio y oro.

La figura 2 muestra bloques de 1 dm³ hechos con los siete metales de la Antigüedad. Se ha incluido también un bloque de agua, sustancia muy familiar que nos permitirá comparar su peso con el de los metales (recuérdese que 1 litro de agua ocupa 1 dm³ y pesa aproximadamente 1 kg). La longitud de las flechas rojas representa proporcionalmente los pesos de los bloques. Obsérvese que el cobre pesa casi 20 veces más que el agua.

Figura 2. Peso de 1 dm³ de los siete metales de la antigüedad

 

Veamos ahora la figura 3. En ella se muestran bloques del mismo peso (1 kg) hechos con los metales citados antes. Se ha incluido también un bloque de agua de 1 kg de peso (1 litro) para facilitar la comparación. Obsérvese el pequeño tamaño del bloque de 1 kg de oro en comparación con el de 1 kg de agua, lo que da una idea del enorme peso específico de este metal.

Figura 3. Volumen ocupado por 1 kg de los siete metales de la antigüedad

 

El problema la corona del rey

Arquímedes conocía perfectamente el peso y el volumen del lingote de oro entregado para hacer la corona. Si el orfebre hubiera obrado honradamente, el volumen del oro y el de la corona serían iguales (figura 4-a). Pero si el orfebre hubiera cambiado parte del oro por otro metal —por ejemplo, cobre—, el volumen de la corona sería algo mayor debido al menor peso específico del cobre (figura 4-b). 

Figura 4. El volumen de la corona B es ligeramente mayor que el de la corona A.

 

En definitiva, el problema quedaría resuelto midiendo el volumen de la corona y comprobando que fuera igual al del bloque de oro entregado para hacerla, pero ¿cómo obtener su volumen?

Aunque hoy día este es un problema fácil de resolver, en aquel tiempo aún no se conocía la manera de hacerlo. La forma irregular de la corona hacía muy complicado el cálculo de su volumen usando procedimientos geométricos. Por otra parte, no habría sido admisible fundirla para convertirla en un bloque fácil de medir.

Con este problema en la cabeza, Arquímedes fue a remojarse a los baños públicos. Al sumergirse en la bañera se dio cuenta de que el nivel de agua subía hasta casi desbordarse. Por el contrario, al salir del agua el niver bajaba considerablemente.

Arquímedes pensó que si el agua no se comprimía ni se expandía, el aumento aparente de volumen tenía que ser igual al volumen ocupado por su cuerpo. Acababa de descubrir un método para obtener el volumen de la corona sin tener que fundirla.

El volumen de un cuerpo sumergido en un líquido es igual al volumen del líquido que desplaza.

Cuentan que Arquímedes, emocionado con el descubrimiento, salió a la calle desnudo y gritando ¡eureka!, que es una palabra griega que significa “lo encontré”.

Figura 5. El aumento aparente del volumen del agua es igual al volumen ocupado por la corona.

Gracias a este descubrimiento Arquímedes pudo resolver el problema. De todos modos, hay quien piensa que con los medios disponibles en aquella época no se podía tener una precisión aceptable para su resolución, pero que Arquímedes podría haberlo resuelto sin necesidad de conocer el volumen de la corona. Veamos cómo pudo haberlo hecho.

 

Otra posible solución al problema

Todos podemos experimentar la sensación de perder peso cuando nos sumergimos en el agua. Al levantar un objeto pesado dentro del agua también nos parece más ligero. Arquímedes había observado este fenómeno y fue el primero en llegar a la conclusión de que el peso que perdía el cuerpo sumergido en el agua era igual al peso del agua desplazada por el cuerpo, lo que le llevó a enunciar el siguiente principio:

 “Todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del volumen de líquido desplazado”.

La figura 6 representa un cuerpo sumergido en un líquido dentro de un recipiente. El cuerpo recibe la acción de dos fuerzas verticales del mismo valor y sentidos opuestos: una es su peso (P) que tira de él hacia abajo, y la otra es el empuje (E) que tira de él hacia arriba.

Figura 6. Principio de Arquímedes

 

Teniendo en cuenta este principio, es muy posible que Arquímedes resolviera el problema usando una balanza como la de la figura 7, colgando en un extremo la corona y en el otro un bloque de oro puro del mismo peso que la corona. Si el orfebre hubiera obrado honradamente, en el aire la balanza estaría equilibrada porque el peso de la corona (P1) y el peso del bloque de oro (P2) serían iguales. Si el orfebre hubiera cambiado parte del oro por otro metal, la corona ocuparía más volumen que el bloque y entonces el empuje (E1) que tira hacia arriba de la corona sería mayor que el del bloque de oro (E2). La balanza se desequilibraría subiendo la corona y bajando el bloque.

Figura 7. Una posible solución al problema de la corona.

 

No se sabe si el orfebre obró bien o mal, porque no hay documentos que lo certifiquen; de todos modos esta es una historia entretenida que invita a sumergirse, nunca mejor dicho, en esa cienca que estudia el comportamiento de los líquidos en reposo: la Hidrostática.

Efrén d'Andrés. Junio de 2023